Para integrar funciones racionales(razones de polinomios) las expresamos como sumas de fracciones mas sencillas, denominadas fracciones parciales, que ya sabemos integrar. El ejemplo siguiente ilustra el caso mas sencillo.
Encuentre
SOLUCIÓN Advierta que el denominador se puede factorizar como un producto de factores lineales
En un caso como éste, donde el numerador tiene un grado más pequeño que el denominador, podemos escribir la función racional dada como una suma de fracciones parciales:
donde A y B son constantes. Para hallar los valores de A y B multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por (x+1)(2x-1), con lo que se obtiene
o bien
Los coeficientes de x deben ser iguales y los terminos constantes tambien son iguales. De modo que
Al resolver estas ecuaciones lineales para A y B, obtenemos A=3 y B=-1, por consiguiente
Les dejo un pequeño vídeo sobre el método de fracciones parciales, espero que les ayude.
CALCULO INTEGRAL 
es ta interesante
le permite al m´etodo que estamos a punto de estudiar, escribir la fracci´on como una “suma de
fracciones parciales”,
3x
2 − 6x + 7
x
3 − 6x
2 + 11x − 6
=
=
3x
2 − 6x + 7
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
.
donde hay que determinar las constantes num´ericas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes,
de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la b´usqueda de
la integral como se indica a continuaci´on.
Z
3x
2 − 6x + 7
x
3 − 6x
2 + 11x − 6
dx =
=
Z
3x
2 − 6x + 7
(x − 1)(x − 2)(x − 3) dx
=
Z
A
x − 1
dx +
Z
B
x − 2
dx +
Z
C
x − 3
dx.
= A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x − 3).
2. Ra´ıces Reales Distintas
En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracci´on se puede reescribir de la siguiente manera.
P(x)
(x − a1)(x − a2)(x − a3)· · ·(x − ak)
. (2)
donde ai
, i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las ra´ıces de Q(x).
Para este caso, la descomposici´on en fracciones parciales que se propone es,
P(x)
(x − a1)(x − a2)(x − a3)· · ·(x − ak)
= (3)
=
A1
x − a1
+
A2
x − a2
+
A3
x − a3
+ · · · +
Ak
x − ak
.
En este caso,
Ai =
P(ai)
Q0(ai)
, equivalentemente, Ai =
P(ai)
Qi(ai)
(4)
donde como siempre, Q0
(x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio
Q(x), y el polinomio Qi(x) queda definido por,
Qi(x) = Q(x)
(x − ai)
,
esto es, Qi(x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor (x − ai)
Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a,
s − 1
s
2 + s − 6
.
Soluci´on: En este caso la factorizaci´on es la siguiente,
s − 1
s
2 + s − 6
=
s − 1
(s + 3)(s − 2) =
A1
s + 3
+
A2
s − 2
, (5)
Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “n´umeros amigos”; aquellos n´umeros que anulan al
polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuaci´on 3 se satisface, entonces,
s − 1 = A1(s − 2) + As(s + 3).
Los n´umeros amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera:
s = 2: Implica que,
2 − 1 = A1(2 − 2) + A2(2 + 3) = 5A2, ∴ A2 =
1
5
.
s = −3: Implica que,
−3 − 1 = A1(−3 − 2) + A2(−3 + 3) = −5A1, ∴ A1 =
4
5
.
Las f´ormulas de Heaviside en este caso, donde
P(s) = s − 1, Q(s) = s
2 + s − 6, ∴ Q
0
(s) = 2s + 1,
proponen para los coeficientes,
A1 =
s − 1
2s + 1
¯
¯
¯
s=−3
=
−3 − 1
2(−3) + 1 =
4
5
,
A2 =
s − 1
2s + 1
¯
¯
¯
s=2
=
2 − 1
2(2) + 1 =
1
5
.
Las f´ormulas equivalentes requieren los polinomios,
Q1(s) = s
2 + s − 6
s + 3
=
(s + 3)(s − 2)
s + 3
= s − 2,
Q2(s) = s
2 + s − 6
s − 2
=
(s + 3)(s − 2)
s − 2
= s + 3.
Los coeficientes son,
A1 =
s − 1
Q1(s)
¯
¯
¯
s=−3
=
−3 − 1
−3 − 2
=
4
5
,
A2 =
s − 1
Q2(s)
¯
¯
¯
s=2
=
2 − 1
2 + 3
=
1
5
.
Los mismos resultados.