2.-Método de sustitución

En virtud del teorema de evaluación, es importante poder hallar antiderivadas. Pero nuestras formulas de antiderivacion no indican como evaluar integrales como

(1)

Para hallar esta integral, aplicamos la estrategia para la solución de problemas de introducir algo adicional. En este caso, el «algo adicional» es una nueva variable; cambiamos de una variable x a una variable u. Suponga que hacemos que U sea la cantidad debajo del signo integral de (1), u=1+x2. Entonces la diferencial de U es DU=2xdx. Advierta que si la dx en la notación para una integral se interpretara como una diferencial, entonces en (1) se tendría la diferencial 2xdx y, por consiguiente, desde un punto de vista formal y sin justificar nuestro calculo, podríamos escribir

(2)

Pero ahora podriamos comprobar que tenemos la respuesta correcta aplicando la regla de la cadena para derivar la funcion final de la ecuacion(2):

En general, este metodo funciona siempre que tenemos una integral que podamos escribir en la forma:

Observe que si F’= f, entonces

(3)

porque, por la regla de la cadena,

Si hacemos el «cambio de variable» o la «sustitución» u=g(x), entonces, a partir de la ecuación (3) tenemos

o buen, si se escribe F’ = f se obtiene

Por tanto, hemos probado la regla siguiente:

Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces

Se probo la regla de sustitucion para la integracion aplicando la regla de la cadena para la derivación. Asimismo se observa que, si u=g(x), entonces du=g'(x)dx, de modo que una manera de recordar la regla de sustitucion es pensar en dx y du de (4) como diferenciales.

Así pues, la regla de sustitución nos expresa: es permitió operar con dx y du después de los signos de integral como si fueran diferenciales.

Ejemplo

Encuentre 

Solución

Haremos la sustitución u=x^4+2  porque su diferencia es du = 4x^3 dx, la cual, aparte del factor constante 4, aparece en la integral.

De este modo, con x^3dx=1/4du y la regla de sustitución tenemos

Advierta que en la etapa final tuvimos que regresar a la variable original x.

La idea detrás de la regla de sustitución es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que sea función de x.

A continuación les dejo un vídeo que les explica como resolver integrales con el método de sustitución.

Si desean pueden buscar mas vídeos, en la red hay una variedad de vídeos que explican este método.